Один ученик спросил меня, как надо было решить эту задачу на олимпиаде, которая прошла неделю назад.  Ему она показалась интересной, но решить он ее не смог, как ни старался.

Помещаю ее решение, может кому-то еще понадобится.

Вот ее условие и решение.

 

11.3. На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов \vec{a}_1,\vec{a}_2, . . . ,\vec{a}_n с равными длинами. Оказалось, что все векторы

-\vec{a}_1 +\vec{a}_2 + . . . +\vec{a}_n, \vec{a}_1 -\vec{a}_2 +\vec{a}_3 + . . . +\vec{a}_n, . . . ,<br /><br /><br />
\vec{a}_1 +\vec{a}_2 + . . . +\vec{a}_{n-1} -\vec{a}_n<strong> </strong>

также имеют равные длины. Докажите, что \vec{a}_1+\vec{a}_2+. . .+\vec{a}_n = \vec{0}.
Решение:

Пусть сумма векторов \vec {a}_{1} + \vec {a}_{2} + \vec {a}_{3} ... + \vec {a}_{n} = \vec {s}, тогда по условию задачи векторы
\vec {s} - 2\vec {a}_{1} , \vec {s} - 2\vec {a}_{2} , \vec {s} - 2\vec {a}_{3} ,..., \vec {s} - 2\vec {a}_{n} {\rm (}{\rm 1}{\rm )} имеют равные длины. Векторы - 2\vec {a}_{1} , - 2\vec {a}_{2} , - 2\vec {a}_{3} ,..., - 2\vec {a}_{n} {\rm } {\rm (}{\rm 2}{\rm )} - также равной длины.

Если построить все векторы (2) из

конца вектора \vec {s}, как показано на рис. 1, то концы их будут расположены на окружности с центром в этом конце вектора \vec {s}.  Видно, что если длина вектора \vec {s} не будет нулевой, векторы (1) не могут быть одинаковой длины при n > {\rm 2}.

 

 

Понравилось? Расскажите друзьям:
Общайтесь со мной:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>