Продолжаю выкладывать решения задач прошедшей олимпиады по математике (11 класс).

На этот раз задача по геометрии. Следует заметить, что доказательство можно было бы изложить и без рисунка, настолько эта задача простая, если вникнуть в ее условие.

Надо сказать, что очень часто школьники просто обходят задачи по геометрии в первую очередь, и обходят задачи на доказательство, во вторую. То есть они считают, что задача на доказательство  трудна, а по геометрии вообще не решить. Но на самом деле это не так, что демонстрирует приведенная здесь задача. Ведь эта задача не с экзамена какого-то, а с олимпиады. Решив уже приведенные здесь три задачи, можно было набрать прилично баллов, и выглядеть вполне достойно среди участников олимпиады.

11.2. Через вершины основания четырёхугольной пирамиды SABCD проведены прямые, параллельные противоположным боковым ребрам (через вершину A — параллельно CS, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырехугольник  ABCD — параллелограмм.

Решение:

На рисунке приведена пирамида SABCD, из вершин основания которой проведены прямые AS¹,  BS¹, CS¹, DS¹ согласно условию задачи.

Четырехугольник BSDS¹ – параллелограмм по построению, поэтому точка O пересечения диагоналей SS¹ и BD лежит в середине отрезка BD.

Так как четырехугольник ASCS¹ – также параллелограмм, то диагональ AC делится пополам точкой O.

Выходит, что в четырехугольнике ABCD диагонали делятся пополам, т.е. четырехугольник ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Понравилось? Расскажите друзьям:

Общайтесь со мной: