Недавно обратились ко мне с просьбой помочь решить две задачи по теории вероятностей из варианта ЕГЭ по математике. Я попытался выяснить причины затруднения, и пришел к выводу, что трудности возникают из-за отсутствия учебников, хотя в это не верится, и из-за непривычности к самому предмету теории вероятностей. Как бы там ни было, надо все-таки на конкретных задачах научиться решать задачи по теории вероятности. Тем более, в ЕГЭ скорее всего только этого типа задачи и есть. Я думаю затруднений в понимании таких понятий как событие, вероятность, сумма вероятностей независимых событий нет. А вот выделить события, определить гипотезы, все разложить по полочкам трудновато. Но стоит один два раза хорошенько, вдумчиво разобрать готовое решение конкретной задачи, как станет понятно, что по сути задачи-то такие довольно просты и шаблонны отчасти, и что самое главное, они интересны и жизненны. Потом может возникнуть желание решить побольше таких задач, чтобы заработать больше очков на экзамене, но, к сожалению их всего 2 будет, скорее всего, да и то в разделе В.

Ну, давайте приступим к задачам.

Задача 1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что пассажиров в автобусе наберётся менее двадцати человек, составляет 0,94. Вероятность того, что пассажиров будет менее пятнадцати – 0,56. Найти вероятность того, что число пассажиров в автобусе будет от пятнадцати до девятнадцати человек.

Решение:

Рассмотрим случайную величину x – число пассажиров в автобусе. Тогда условия задачи запишутся как P(x≤19)=0,94, P(x≤14)=0,56. А искомая вероятность будет P(14<x<20)=P(x≤19)-P(x≤14)=0,94-0,56=0,38. И получаем

Ответ: 0,38.

Почему, спрашивается, я пишу P(x≤19), а не  P(x<20) = 0,94. Дело в том, что есть понятие функции распределения  F(a)=P(x≤a) и имеется известная формула P(a<x<b)=F(b)-F(a). Формулу просто можно запомнить. Но, может быть, такие слова как функция, распределение излишне затрудняют понимание и даже могут вызвать раздражение школьника или учителя, который уже привык обходиться в математике без задач по теории вероятностей.

Поэтому просто объясним решение такого типа задач с помощью элементарных понятий. Итак, пусть  событие A будет заключаться в том, что автобусом решило воспользоваться менее 20 человек, т.е. P(A) = 0,94. Событие B – пассажиров в автобусе меньше 15 человек и, следовательно, P(B) = 0,56. Событие C – пассажиров в автобусе от 15 до 19 человек, и требуется вычислить вероятность этого события P(C). Но события B и C вместе (надо говорить, объединение событий) составляют событие A, при этом они не пересекаются, т.е. совместно события B и C не могут произойти. Поэтому имеем, P(A)=P(B)+P(C), откуда P(C) = P(A) - P(B) = 0.94 - 0.56 = 0,38.

Задача 2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой.

Решение:

Обозначим события:

А – выбранная батарейка не исправна.

В – выбранная батарейка исправна.

С – система контроля забраковала батарейку.

События А и В представляют собой полную систему, т.е. при выборе батарейки произойдет обязательно одно из событий А или В. А после контроля произойдет событие С. Это событие может произойти на фоне либо события А либо события В, или другими словами,  при осуществлении гипотезы исполнения события А или другой гипотезы, заключающейся в том, что выбранная батарейка была исправной (событие В).

Применяя формулу полной вероятности получим искомую вероятность события С:

Р(С) = Р(А)Р(С/А) + Р(В)Р(С/В) = 0,03×0,95 + 0,97×0,04 = 0,0673

Здесь вероятность события В вычисляется как Р(В) = 1 – Р(А) = 1 – 0,03 = 0,97.

Итак,

Ответ: 0,0673.

Я хочу предложить другую цепь рассуждений, которая, по моему мнению, может помочь решить эту задачу тем ученикам или учителям, которые не могут прочитать учебник в силу его отсутствия или понять формулу полной вероятности.

Можно представить, что имеется 100 изготовленных батареек, из которых 3 не исправны, а 97 исправны. И вот все эти батарейки отправили на контроль. Ясно, что система из трех неисправных батареек забракует  3×0,95 = 2,85 штук. Чтобы нас не шокировало дробное количество штук, считаем не 100 батареек было, а в 100 раз больше, т.е. 1000, из которых 300 неисправных и 9700 исправных. Из 300 неисправных 285 система забракует и из 9700 исправных будет забраковано 388 и того система не пропустит 285+388=673 из 10000. И отсюда легко получим тот же ответ, разделив 673 на 10000.

В принципе достаточно усвоить эти два типа задач, чтобы добавить так необходимые плюсики для успешной сдачи это «СТРАШНОГО» ЕГЭ. Может быть, встретится еще какая-нибудь задача на другую тему из теории вероятностей, но, я думаю, она не будет нерешаема для тех, кто «прочувствует» решение приведенных здесь задач.

Понравилось? Расскажите друзьям:
Общайтесь со мной:

Комментарии (8)

  1. Вера:

    Тоже сдаю егэ. Именно задачи по теории вероятностей часто вызывают трудности. Очень полезная информация. Спасибо.

  2. Natalya:

    Я репетитор , готовлю учеников к сдаче ЕГЭ. Эта консультация пришлась мне как нельзя кстати. По теории вероятности в ЕГЭ есть задачи и легкие, есть и трудные, к которым относятся вышеизложенные примеры, которые ставят в тупик не только учеников, но и нас преподавателей. Изящное и доступное изложение сути примеров, просто здорово. конечно я буду применять методику изложенную здесь в объяснениях своим ученикам.
    Огромное спасибо

    • admin:

      Спасибо, Наталья за одобрение. Рад помочь всем. Если бы ещё знать, какие задачи вызывают наибольшие трудности! Поэтому пишите, подписывайтесь!

  3. Эх. Почитал, чуть понастальгировал… Как давно это было.

  4. Оля:

    Долго не могла понять, как решаются подобные задания, а тут все досконально и просто объяснили)
    Спасибо Вам огромное, очень помогли!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>